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纳什均衡与博弈论-第16部分
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第二节 社会物理学
凯特勒，1796年生于根特，尽管少有人知道他把数学用于今天为大部分美国人熟知又忌讳的领域，但的确是他发明了衡量肥胖的凯特勒指标，即体重指数，简称BMI。可是与他把科学用于社会的远见相比，BMI显得微不足道。
青少年时期的凯特勒曾涉足绘画、诗歌和歌剧，但是他却在数学方面有着特殊的天赋，并于1819年在根特大学获得数学博士学位。后来他在布鲁塞尔教授数学，并被推选到比利时科学院。在18世纪20年代，凯特勒的兴趣从数学延伸到物理，且于1823年到巴黎学习天文学，为在布鲁塞尔建立天文台做准备。
后来，凯特勒写了一些有关天文和物理的普及读物，被一般读者广泛传阅。他还经常向各阶层的人发表有关科学的公益演讲。熟知他的人高度地称赞他为良师益友，认为他不但和蔼、体贴、机智、谦虚，而且是一位奋抒己见的严谨的思想家。
在巴黎期间，凯特勒不仅涉足天文，他还向拉普拉斯学习概率论，并结识了拉普拉斯的同事——泊松和傅立叶，他们和凯特勒一样对社会统计学爱不释手。随后，凯特勒意识到拉普拉斯用高斯曲线刻画社会特征的方法可广泛推广，于是开始就社会的统计学描述发表论文。1835年他撰写了一篇详细阐述他所谓的社会物理学（或社会力学）的论文，并引入“平均人”的概念来分析社会问题。他知道“平均人”并不存在，但通过对众人各方面的平均却能更深入地认识社会。“当把我的工作冠以社会物理学之名时，我别无他求，只求能像物理学联系起物质世界的现象一样把社会现象统一起来。”凯特勒评论道。
凯特勒的关键论点是，人类无常的行为看起来复杂得不可琢磨，但当考察大量行为时却呈现出规律性。他写道：“在特定社会状态下，特定的影响因素产生特定的效果。这些效果围绕固定的均值波动，不会大起大落。”他相信，虽然历史趋势和历史事件显得混乱，但有关测量误差的统计规律却将从中找出可预测的范式。
凯特勒认为，一个政府要想在理解人性的基础上得到巩固，对“平均人”概念的理解是必要的。当然，没有固定的人性特征适用于一个人的所有方面，但是相比其他领域，在社会学中更易出现特定趋势，所以我们能够用统计方法建立一个抽象的“平均”，用来表示人类诸多特性的典型混合。
凯特勒以箭靶做比来表述他的观点。在箭手多次射击后，靶上的箭离靶心远近不等，但却呈现明显的分布模式。假设由于某种原因使得靶心模糊不清，即使没有箭正中靶心，却仍然可以通过箭的分布推断出靶心的位置。凯特勒指出，“如果箭足够多，就可以推断出靶心的真正位置。”
在研究出生率和死亡率等社会变量时，凯特勒全力以赴地搜集数据，并分析这些数据如何随地点、季节甚至一天中不同时刻的变化而变化。他评估道德、政治和宗教对犯罪的影响，并分门别类。年复一年，各类犯罪报告稳定地使他吃惊。比如，在特定地点，不但各年谋杀案的数量相近甚至连作案手法也相近。
“社会上所谓的犯罪，”凯特勒写道，“年年重演，并在数量上几乎保持一致；通过进一步的研究，它们可被归入几乎相同的类别中；如果数量充分大，可以做进一步细分的话，仍能发现相同的规律。”类似的，犯罪率的年龄分布也是固定的，21～25年龄段的犯罪率最高。“犯罪甚至比死亡爱走常路。”凯特勒说道。
同时，他警告我们，未经深思熟虑就对统计资料做出解释是危险的。例如有个研究者，在看到法国儿童入学率高的省份失窃率也高后，就得出教育导致犯罪的结论。这有点像今天谈话类广播中的推理，凯特勒对它进行了正确的批评。
凯特勒同样再三强调：统计方法不能得出用于特定个体的结论（今天的媒体哲学家所忽视的另一个明显的原则）。例如，保险公司的死亡率表不能预测任何个人的死亡。但无论个案和统计结果的冲突有多大，仍然不能否定统计结果的有效性。
凯特勒的社会统计学在科学家和哲学家中引起极大关注，其中很多人为他忽视人的自由意志而震惊。凯特勒回应道，他不是反对自由意志，而是认为由于受到法律和道德等环境条件的约束，人的选择有局限性。他注意到，即使最简单的决策也要受习惯、需求、人际关系和其他各方面因素的影响，自由意志完全被“动因论”所淹没。这就是为什么知道了影响某人决策的所有因素，通常就可预测他的行为的原因。
不管怎样，对凯特勒观点的论战使他的工作被广泛了解，这对科学有利。更何况其中一些评论被詹姆斯·克拉克·麦克斯韦看到，这又是物理学的幸运。
第三节 麦克斯韦和分子理论
麦克斯韦比其他人对物质世界更敏感，是百年一遇的天才。他始终留心复杂物理现象背后的原理，几乎对整个物理学都有很深的造诣。他精通电学和磁学，光学和热学，研究了牛顿物理学（万有引力和运动定律）之外几乎所有的主要领域，还发现了牛顿运动定律的一个致命缺点。牛顿定律对宏观物体（如炮弹、石块）屡试不爽，但对组成这些物体的微观分子呢？理论上牛顿定律依然适用，但实际上它没什么用，因为它根本无法描绘出单个分子的运动。既然不能描述局部的运动，又怎么能希冀预知整个物体的运动呢？
当一个铁球从比萨斜塔落下时，内部原子的运动并没有影响它下落的速度，但其他形式的物质不会这样自发地协作。举个例子，假设要了解蒸汽机中压力如何影响蒸汽温度，绝不可从计算单个水分子的运动做起。
对这个问题物理学家并不是束手无策，他们已设计了一些奏效的公式来描述气体的运动。但麦克斯韦却想知道这些公式是如何起作用的，气体又为什么会如此运动。如果可以用分子运动解释被观察物体的整体运动，那么不但会对这些现象有了更深的理解，而且为19世纪中叶某些派系对是否存在原子和分子的争论提供坚实的依据。
但是，这种认为分子的运动决定气体状态的观点并不新颖。早在1738年，我们的老朋友丹尼尔·伯努利就用分子台球模型简图来解释气体，并提出气体分子运动论。正如科学史学家斯蒂芬所说，伯努利的理论基于热仅是分子运动的宏观表现，这一（正确）观念与当时大多数物理学家认为的热是某种流动物质（热量）相比“超前了一个世纪”。直到19世纪50年代，在热力学（确立了正确的热理论）出现之际，分子运动论才成为物理学家研究的成熟课题。
德国物理学家鲁道夫·克劳修斯是主要的热力学先驱。在1857年的一篇论文中，他全面解释了热的分子运动本质。他描述了气压如何与分子对容器壁的撞击相关。任何分子都不停地被其他分子撞击，并通过运动反映出撞击对它的影响（如凯特勒所述，一个人的决策能反映出众多社会压力的影响）。克劳修斯在他的方法中强调了分子平均速度的重要性，并在1858的论文中引入了两次碰撞间分子的平均移动距离这一重要概念（称为平均自由程）。
1859年，麦克斯韦开始研究分子运动，进一步探讨了气体分子的相互影响和由此而产生的速度。在研究方法中，他用到了凯特勒提出的统计学思想。
麦克斯韦可能从天文学家约翰·赫谢尔的文章里首次听说凯特勒（赫谢尔作为凯特勒的天文学同事，当然熟悉凯特勒）。后来，在1857年，麦克斯韦读了一本历史学家亨利·汤马斯·巴克尔的新书。巴克尔很明显地受凯特勒影响，相信科学可以发现“人类意识的规律”，并且认为人类的活动是“广袤宇宙的有序系统”的一部分。（我在一个网页上看到巴克尔被称为十九世纪的哈里·谢顿。）
巴克尔，1821年生于伦敦附近，是19世纪又一位求知若渴的人物，但他幼时并不十分聪明。他爸爸是海运商人，在他18岁那年去世了，留给他充足的钱来游览欧洲并学习他喜爱的历史和国际象棋。（巴克尔是一流的棋手，能流利地使用七种语言，并熟知十几门语言，也是收藏丰富的藏书家，藏书超过20000本。）
从1842年起，巴克尔便为一篇历史专著搜集资料和论据。他原打算将重点放在中世纪，但最后纳入了更广泛的目标，写成了《英国文明史》（巴克尔实际上是指文明时期的历史）。此书与其说是历史书倒更像是用科学方法研究人类行为的社会学尝试。他批评了解决社会问题的“形而上学”（哲学）方法，主张用历史方法（实际是科学方法）取而代之。
巴克尔写道：“形而上学方法……出自一辙，它基于研究者对自己思维的研究，这与历史方法背道而驰。形而上学者研究一个人的思维，而历史学家研究一群人的思维。”巴克尔不得不批评形而上学方法“在任何知识领域都毫无作为”。之后，他强调，要揭示“扰动”掩盖下的规律需大量案例，认为“只有研究大量案例才能消除‘扰动’，规律也就清晰可见，那么我们见到的一切就可通过这些消除‘扰动’的现象来断定。”
巴克尔的大部分理念响应了凯特勒，包括对自由意志论的抨击。他认为：偶尔有人的决策看起来是自由的，甚至是令人惊讶的，那是因为你不了解他的处境。“如果我能够正确推理，同时对他的处境了如指掌，我就能预测由这些处境引发的一系列行为。”回顾巴克尔的话，非常像出自今天博弈论者之口。博弈论也的确是教我们在掌握了影响决策的所有信息后，（或应当）如何决策。
巴克尔意识到，我们的决策不仅受外因影响，而且受内在思考方式的影响。既然所有影响都有不能被科学所把握的细微之处，那么人的行为特征就必须用统计学来描述。巴克尔写道：“历史的变迁，人类的兴衰，进步与倒退，喜与悲，都是双重作用的结果。一种是外部现象加于意志的作用，一种是意志加于外部现象的作用。对人类行为最全面的推论基于（或类似地源于）统计数据的数学描述。”
虽然气体复杂得难以描述，但是不难想像，麦克斯韦读了上面的话后从中找出解决方法。也许巴克尔的书有些“自大”，麦克斯韦却仍然承认它是创意之源，并且用巴克尔的统计推理来处理分子运动正是麦克斯韦所需要的。麦克斯韦后来写道：“最小的实验材料也包含了数百万的分子，因此，我们不能确定每个分子真实的运动情况，被迫……采用统计方法来处理这些分子。”他认为统计方法确实能揭示出分子行为的“一致性”。“这种一致性与拉普拉斯所解释的以及巴克尔试图解释的一致性并无差别。”麦克斯韦说。
要使麦克斯韦关于气体分子特征的论述有意义，并不要求气体分子如克劳修斯所猜测的那样都以平均速度运动，但只要求多数在平均速度附近，一些或快或慢，少数非常快或非常慢即可。在碰撞中，一些分子的速度变快，一些分子的速度变慢，一个高速分子不是被加速，就是被减速。少有分子能一路顺风（或一路荆棘），从而使速度变得极快（或极慢），大部分的分子在一系列碰撞之后趋于试验箱中所有分子的平均速度。
就像凯特勒“平均人”的虚构概念一样，对社会的深入了解也来自对社会特征在均值附近分布的分析，理解气体也同样要计算分子速度的范围以及在均值附近的分布。麦克斯韦算出的分布符合高斯曲线。
19世纪60年代，麦克斯韦改进了他的想法，认为当速度达到高斯分布时，就会稳定在这一状态（奥地利物理学家鲁德维格·玻尔兹曼进一步阐述并巩固了麦克斯韦的结论）。单个分子的速度可能变化，但这会通过其他分子速度的改变得到抵消。因此从整体上来看，分子速率的范围和分布将保持不变。当气体分子间的碰撞不再引起整体分布的变化时，气体所处的状态就是平衡状态。
当然，这种平衡和博弈论中纳什均衡非常类似，而且不仅仅是词意上的类似。在纳什均衡中，参与者的策略达到了稳定的效用，没有任何激励使其改变策略。如典型的纳什均衡是策略分布的平衡一样，气体平衡是分子速率分布的平衡。
第四节 概率分布
纳什的混合策略和麦克斯韦的混合分子模型都是数学家所谓的概率分布。这个概念对博弈论如此重要，值得我们毫不手软地把它敲进脑袋中（可能用一个银锤）。下面考虑麦克斯韦的问题：气体分子如何分配气体的总能量？一种可能如克劳修斯的猜想，所有分子的速度都接近平均值；一种可能是速度差别很大，一些分子优哉游哉，一些极速飞奔而过。显然，可能的速度组合很多，并且所有组合在理论上都可能，只是可能性大小不同而已。
举一个更简单的例子，假设抛10次硬币，记录出现正面的次数，结果会如何？由于出现正反面的概率相等，可以很容易地算出概率分布（严格来说，因为只有两种等概率事件，并且所有概率的和必须为1…1代表事件发生的概率为100％，所以每次出现正面的概率都是0。5，或者说一半）。因此，在大量实验后，每次实验出现正面的平均次数是5（如果硬币均匀）。但是有很多可能的组合符合此均值。比如，全部正面和全部反面的实验各占一半，或每次实验正反面各占一半。
实际上，每次实验中正面可出现各种可能的次数，只是概率不同：出现5次正面的概率为25％，4次（或6次）的为20％，3次（或7次）的为12％，1次的为1％（不出现的概率为0。1％，即千分之一）。也就是说，不会出现单一的平均结果，而会出现各种结果的概率分布。麦克斯韦察觉到了大量分子间的能量分配可能遵循同样的概率分布。博弈论的成功之处在于证明了纯策略的概率分布（混合策略）能够使效应最大化（或损失最小化），特别当你的对手是理性的时候（意味着他们也采取混合策略）。
设想你在重复玩猜硬币之类的简单游戏，在游戏中你去猜对手的硬币是正还是反。你的最佳混合策略是一半选择正（另外一半选择反），但是仅仅达到50…50的平衡还不够。你的选择应该是随机的，这样才能反映出等可能性策略的概率分布。如果你只是交替地选择正或反，对手很快就会发现你的选择模式并加以利用，那么对开两种选择也就毫无益处。如果你完全随机地选择，那就要另当别论了，比如说在10次选择中，选择9次正面的概率为1％。
在一本科林·卡麦勒有关行为博弈论的书中，他把该原理应用到存在着类似50…50的网球比赛中：是打对手的左边还是右边。为了让对手无法预知，打左边还是右边应当是随机的。业余选手在左与右之间交替的往往过于频繁，不能达到适当的概率分布，而职业选手却更接近理想的分布。这暗示博弈论确实能够赢得最优行为，并且人类确实有学习使用博弈理论来理性地做决策的能力
同时
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