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纳什均衡与博弈论-第4部分
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第一节 广博的研究
如果说20世纪有人是“学识渊博”的象征，那么他只能是冯·诺依曼（John von Neumann）。不过令人痛惜的是，他太英年早逝了。
如果冯·诺依曼能活到正常的年纪，比如80岁，那么我也许就有机会聆听他的教诲，甚至亲自拜见他，领略他那卓越不凡的天才。然而，天妒英才，才只有53岁，他就离开了这个世界。不过，即便如此，他在有生之年给诸多学科留下的宝贵遗产还是令人叹为观止的。他对物理、数学、计算机科学和经济学都做出了杰出贡献，并因此在上述每个领域都作为具有突出贡献的伟大科学家被后人瞻仰。谁人敢想，要是他专注于一门学科将会取得什么样的成就？
当然，他已经硕果累累了，比如，他提出量子力学中的标准数学公式。虽然准确地说，他不是现代数字计算机的发明者，但是他发展了计算机科学并开创性地将其应用在科学研究中。不仅如此，虽然初衷只是为了娱乐，他的研究成果却带来了经济学的巨大变革。
冯·诺依曼于1903年出生于匈牙利。出生时，父母给他取名Janos，但是这个名字后来变成了小名Jancsi。他父亲是一个富有的银行家（他的贵族头衔“冯”就是父亲花钱获得的）。孩童时代，冯·诺依曼超群的智商使大人们都惊异不已：他能用希腊语讲笑话，能记住电话本上的号码。之后，他被布达佩斯大学（University of Budapest）录取，攻读数学，但不用上课，因为他同时还在柏林大学（University of Berlin）攻读化学。每学期末，他匆匆赶回布达佩斯参加考试，轻松夺得高分，然后回柏林继续化学课程的学习。他先后在柏林大学和苏黎世大学完成了化学专业的学习。
我曾讲过冯·诺依曼成年时的一些智力轶事（在我的《the bit and the pendulum》一书中提过），比如有一次，兰德（Rand）公司要解决一个难题，而他作为顾问来决定这个公司是否需要台新计算机。结果冯·诺依曼得出的结论是：兰德公司并不需要，因为这位天才用他的大脑就把难题解决了。此外，在西尔维娅·娜萨（Sylvia Nasar）的关于约翰·纳什（John Nash）的传记中，她提到了冯·诺依曼的另一段轶事，关于一个著名的数学脑筋急转弯问题：两位自行车手从相距20英里的两地开始相向而行，时速10英里，同时一只苍蝇以15英里的时速在两人之间往返飞行（在和其中任何一人相遇后就转头向另一个人飞去）。问当两位车手相遇时苍蝇飞了多远的距离？因为苍蝇从一自行车飞到另一自行车的距离是越来越短的，所以可以通过累加苍蝇每一段行程的办法来计算结果（这就是数学中无穷级数求和）。不过，如果你发现了其中的小技巧，题将片刻被解，即两个车手要一个小时才能相遇，所以苍蝇飞的路程显然是15英里。
毋庸置疑，当出题者拿这个问题考冯·诺依曼时，他仅用一两秒就给出了答案。“你知道这个小技巧啊？”，他们咕噜道。“什么小技巧？”冯·诺依曼问，“我用的是无穷级数求和啊”。
在他1930年第一次去美国之前，冯·诺依曼就已经在欧洲奠定了卓越数学家的一席之位。他提出了数理逻辑和集合论方面的主要观点，并在柏林大学讲学。但他绝不是个书呆子，他欣赏柏林丰富的歌舞夜生活，（对科学）更为重要的是，他非常喜欢打扑克牌。他在数学和牌局上的天赋，创造了经济学上的一个全新范例。在此过程中，他还发明了一些数学工具，这很可能会在日后揭示出在他的许多不同的科学兴趣内部潜在的深层的相似之处。不仅于此，像阿西莫夫（Asimov）书里的哈里·谢顿（Hari Seldon）一样，他向人们展示了如何用严密的数学方法来解决社会问题。
“冯·诺依曼是位聪明的数学家，他对其他科学分支做出了巨大贡献，基于他坚信这么一点：在人类相互作用的背后，一定存在着某种公平原则。”一位评论家这样写道，“从而，他的工作在将数学转变为研究社会理论的关键工具上起到了至关重要的作用。”
第二节 效能和策略
绝大多数人认为，冯·诺依曼于1928年发表的一篇学术文章标志着博弈论的诞生。但博弈论的根源更为广远，毕竟从人类之初便有了博弈游戏，且睿智的思想家们一直在思考如何更为有效地进行游戏。但是，直到20世纪，博弈论才作为数学的分支以现代的形式出现，与另外两个颇为简单的思想相融合——效用和策略，前者是对你想得到的东西的度量；后者讨论如何得到你想要的。
效用主要是对价值或者选择的一种度量。这种思想有着悠久且错综复杂的历史，与被称之为功利主义的哲学理念密不可分。一位英国的社会哲学家和法律学者，杰里米·边沁（Jeremy Bentham），对此思想做出了更为著名的阐述。边沁于1780年对效用做了如下诠释：“这是任何物体都拥有的属性，它趋向产生利益、优势、愉悦、善良或者幸福……或者……避免危害、痛苦、邪恶或者不快的发生”。因此对于边沁而言，效用粗略地等同于幸福或愉悦——在“效用最大化”的过程中，个体将致力于寻求增加欢乐，减少痛苦。对于整个社会而言，效用最大化意味着“最大人数的最多幸福”。边沁的功利学说融合了亚当·斯密的一位好友，大卫·休谟（David Hume）的某些哲学观点。英国的经济学家，大卫·李嘉图（David Ricardo），作为边沁的一个颇具影响力的后继者，把这种效用的思想融入了他的经济理念。
在经济学里，效用的作用取决于对其量化的表达。举个例子，快乐是不易量化的，但是，（正如边沁所说明的）可以把获取快乐的途径作为对效用的一种衡量。比如，财富就是一种途径，而它要比快乐容易量化得多。因此，在经济学里，通常的做法是通过金钱来衡量一个人的自身利益，这是一个比较不同事物价值的方便的交换媒介。但是，在生活中的很多方面，金钱并不能代表一切（除非你只是为了出版读物来赚钱），这样一来，找到一种普遍的定义，可以有效地以数学方式描述“效用”就显得很有必要了。
丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli），这位瑞士数学家（他是那个时代著名的伯努利家族中的一员）于1738年，早于边沁很久便给出了一个著名的量化“效用”的数学方法。在解决他表弟尼古拉斯（Nicholas）提出的关于赌博的一个数学悖论的过程中，丹尼尔意识到“效用”并非简单地等同于数量大小。比如，给你一定数量的金钱，它的效用取决于在此之前你已经拥有金钱的数量，就100万美元的彩票大奖对比尔·盖茨的效用与对我的效用相比，要小得多。丹尼尔·伯努利提出了一种计算“效用”如何随着金钱的增加而减少的方法。
显然，效用，这个人人都想最大化的东西有时变得非常复杂。但在许多通常情况下，“效用”简单明了。打篮球时，效用是获得最多的得分。国际象棋比赛时，效用是将死对手的王牌局里，效用是赢得那个放赌注的盘子里所有的钱。很多时候，难的不是如何定义“效用”，而是如何选择一个好的战略来使其最大化。寻找最佳战略，这正是博弈论的目的所在。
真正意义上尝试用数学来解决这个问题的人是英国人詹姆斯·瓦得格拉夫（James Waldegrave），他在1713年开始了这方面的工作。当时，他正在研究一种名叫“le Her”的两人纸牌游戏，他描述了一种寻找最佳策略的方法，使用的正是今天广为人知的“最小最大化原理”（有时也叫做“极小化极大原理”）。可惜的是，他当时并没有得到人们的多少关注，他的工作也因此并没有对之后博弈论的发展产生影响。很多其他的数学家也曾涉足这一今天被称为“博弈论”的数学领域，但并无一致的方法，也并未产生清晰可循的影响。直到20世纪，才开始有真正严密的研究探寻博弈论策略背后的数学原理。最早的工作是由一位德国数学家恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）完成的，他在1913年发表了一篇讨论国际象棋游戏的文章，被认为是数学意义上博弈论的开端。文章中他只是选用了国际象棋游戏来阐释更普遍的一种两人博弈中的策略，在这种博弈中，两个局中人所采取的每一步行动都没有随机的成分在里面。顺便提一句，这个特征十分重要，扑克牌游戏不仅涉及策略，也受发牌运气好坏的影响。如果不幸抓到一手坏牌，很有可能使用再高明的决策也无法取胜。然而，在国际象棋游戏中，每一步怎么走完全由当局的两位选手决定，不存在洗牌、掷色子、抛硬币或者转幸运盘之类的运气成分。策梅洛将自身研究局限于纯粹策略的游戏，不考虑涵带任何复杂的随机因素。
他的这篇关于国际象棋游戏的论文显然使一些读者感到了困惑，因为文章里很多结论比较模糊，甚至有些地方存在矛盾。但是，他似乎试图说明这么一个结论：如果白棋成功地建立优势排列——一种“获胜的构造”——那么就可能以比各种可能的排列更少的步数结束比赛（在这里，优势排列是获得一种能保证白棋获胜的局势，不管黑棋怎么走白棋都会赢，当然也要假设白棋不会走坏棋）。
利用集合论的原理（冯·诺依曼的数学专长之一），策梅洛证明了这个命题。在他的最初证明中，有些内容需要他本人和其他一些数学家之后艰辛工作的支持。但是，因为证明的意义在于它说明了可以用数学来分析这类策略博弈的重要特征，而关于国际象棋游戏中的具体策略那部分与前者相比就显得不是那么重要了。
正如所证明的，国际象棋游戏是个很好的例证选择，因为它是“二人零和博弈”这种重要的策略博弈的一个完美的例子。在这种博弈中，只要一人赢了，不管赢的是什么，另一个人的结果就是输，对决双方的利益是相反的，所以称为“二人零和博弈”（国际象棋游戏也是一种“完全信息”游戏，这就是说任何时候，棋局的局势、所有的当局者的决定都是透明的，比如玩扑克牌的时候，出的牌都是翻开的）。
不过，策梅洛并没有确切讨论国际象棋中的最佳策略是怎样的，甚至都没有涉及是否一定存在这种最佳策略。最早推动这个方向发展的是杰出的法国数学家E。波莱尔（Emile Borel），他于20世纪20年代初证明了在某些特殊情况下，二人零和博弈中存在最佳战略，但是对于能否证明在普遍情况下都存在最佳策略这个问题，他仍抱有疑虑。
这正是冯·诺依曼所做的工作。他说明了，在二人零和博弈中，总有一种办法找到最佳可能策略，这个策略能够使一个人的收益达到最大（或者说损失最小），而不用管这个得失的具体内容是什么，战略只与博弈规则和对手的选择有关。这就是冯·诺依曼最初于1926年12月提交“哥根廷数学学会”，之后于1928年在其本人的论文中充分阐述的最小最大化原理，此篇文章名为“Zur Therorie der Gesellshaftsspiele”（客厅游戏理论），为他日后在经济学上的重大改革奠定了坚实的基础。
第三节 博弈进入经济学
在1928年的论文里，冯·诺依曼只是进行严格的数学研究，讨论的是战略博弈论的理论，并没有想到要与经济相联系。只是在几年以后，在经济学家奥斯卡·摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）的协助下，他才开始把博弈论与经济学结合起来。
摩根斯特恩1902年出生于德国，1929年至1938年期间在维也纳大学教授经济学。在1928年，也就是冯·诺依曼发表关于最小最大化原理的同一年，摩根斯特恩出版了一本书，讨论了经济预测的问题。他涉及的一个重要问题是“预言对所预测对象的影响”。摩根斯特恩知道这是社会科学独有的问题，当然也包括经济学。当化学家预测试管里分子的反应时，分子对此并无察觉，不论化学家的预测正确与否，分子还是按照本来规律反应。但是，在社会科学里，人类与那些分子相比显示出更为多的独立性。尤其是，当人们知道有人在预测他们的行为后，很有可能故意逆其道而行之，就是不让预言实现。更有可能的情况是，有些人会研究这些预测，并使预言朝有利于自己的方向发展，他们会破坏这些预测实现的条件，这样结果就有了很大的随机成分了（顺便提及一下，在《基地三部曲》中，塞尔登计划要保密也正是出于这个原因，一旦有人了解其中的内容，这个计划就没有任何作用了）。
摩根斯特恩是通过“福尔摩斯历险记”中的一段剧本——“最后一案”来解说这个问题的：在从伦敦去往纽约的途中，福尔摩斯一直试图逃避莫里亚蒂教授，但是在深思熟虑这方面，福尔摩斯并不比莫里亚蒂教授占明显优势。莫里亚蒂很可能猜到了福尔摩斯在想什么，但是福尔摩斯跟着也可能会预料到莫里亚蒂教授已经洞察了他的想法，然后这样继续下去：我知道他已经知道了我了解了他的打算，这样无限循环下去，或者至少让人厌烦地重复下去。这样一来，摩根斯特恩总结认为，这种情况，需要靠策略来取胜。他在1935年发表了一篇论文，通过福尔摩斯与莫里亚蒂教授的问题解释了理想情况下未来预知的悖论。
正是在这个时候，在摩根斯特恩做了一场关于这个问题的报告后，一个名叫爱德华·切赫（Edward Cech）的数学家与他进行了探讨，并告诉他冯·诺依曼1928年发表的关于“客厅里的博弈游戏”的论文与他的思想颇为相似。听到这些，摩根斯特恩欣喜若狂，想找个机会拜会冯·诺依曼，并探讨冯·诺依曼的那篇文章和他自己在经济学方面的见解之间的关系。
1938年，这个机会到来了，摩根斯特恩接受一个长达3年的到普林斯顿大学授课的职位（冯·诺依曼当时正在附近的高等研究院工作）。据摩根斯特恩本人说：“我想去普林斯顿的主要原因是，到了那里，我就有机会认识冯·诺依曼了”。摩根斯特恩的最后一案的故事重新点燃了冯·诺依曼对博弈论的兴趣热情。于是，摩根斯特恩立即着手写论文讨论博弈论与经济学的关系。冯·诺依曼审阅了初稿并提出了很多意见，最终，冯作为合著者参与到论文的写作中来，论文不断地得到了补充。到1940年的时候，这篇论文已经涵盖了很多十分重要的内容，但两人仍然对其不断完善，最后以一本书——《博弈论与经济行为》的形式，于1944年由普林斯顿大学出版社出版了（不过，后来的历史研究者认为冯·诺依曼一人独自完成了这本书中的大部分内容）。
这本书立即被誉为“博弈论中的圣经”，在坚信“博弈论”的人眼中，它在经济学中的地位与牛顿定律在物理学中的地位等同，是牛顿化的亚当·斯密，为描述个体之间的相互作用对整体经济的影�
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