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九章算术-第3部分
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七。
术曰：以粟求小，二十七之，百而一。
〔淳风等按：小之率十三有半。半者二为母，以二通之，得二十七，
为所求率。又以母二通其粟率，得一百，为所有率。凡本率有分者，须即乘除也。
他皆仿此。〕
今有粟九斗八升，欲为大。问得几何？答曰：为大一十斗五升
二十五分升之二十一。
术曰：以粟求大，二十七之，二十五而一。
〔淳风等按：大之率五十有四。因其可半，故二十七之，亦如粟求
米，半其二率。〕
今有粟二斗三升，欲为粝饭。问得几何？答曰：为粝饭三斗四升半。
术曰：以粟求粝饭，三之，二而一。
〔淳风等按：粝饭之率七十有五，粟求粝饭，合以此数乘之。今以等数二十
有五约其二率，所求之率得三，所有之率得二，故以三乘二除。〕
今有粟三斗六升，欲为粺饭。问得几何？答曰：为粺饭三斗八升二十五
分升之二十二。
术曰：以粟求粺饭，二十七之，二十五而一。
〔淳风等按：此术与大多同。〕
今有粟八斗六升，欲为饭。问得几何？答曰：为饭八斗二升二
十五分升之一十四。
术曰：以粟求饭，二十四之，二十五而一。
〔淳风等按：饭率四十八。此亦半二率而乘除。〕
今有粟九斗八升，欲为御饭。问得几何？答曰：为御饭八斗二升二十五分升
之八。
术曰：以粟求御饭，二十一之，二十五而一。
〔淳风等按：此术半率，亦与饭多同。〕
今有粟三斗少半升，欲为菽。问得几何？答曰：为菽二斗七升一十分升之三。
今有粟四斗一升太半升，欲为荅。问得几何？答曰：为荅三斗七升半。
今有粟五斗太半升，欲为麻。问得几何？答曰：为麻四斗五升五分升之三。
今有粟一十斗八升五分升之二，欲为麦。问得几何？答曰：为麦九斗七升二
十五分升之一十四。
术曰：以粟求菽、荅、麻、麦，皆九之，十而一。
〔淳风等按：四术率并四十五，皆是为粟所求，俱合以此率乘其本粟。术欲
从省，先以等数五约之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘十除，义由于此。〕
今有粟七斗五升七分升之四，欲为稻。问得几何？答曰：为稻九斗三十五分
升之二十四。
术曰：以粟求稻，六之，五而一。
〔淳风等按：稻率六十，亦约二率而乘除。〕
今有粟七斗八升，欲为豉。问得几何？答曰：为豉九斗八升二十五分升之七。
术曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。
今有粟五斗五升，欲为飧。问得几何？答曰：为飧九斗九升。
术曰：以粟求飧，九之，五而一。
〔淳风等按：飧率九十，退位，与求稻多同。〕
今有粟四斗，欲为熟菽。问得几何？答曰：为熟菽八斗二升五分升之四。
术曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。
〔淳风等按：熟菽之率一百三半。半者，其母二，故以母二通之。所求之率
既被二乘，所有之率随而俱长，故以二百七之，百而一。〕
今有粟二斗，欲为糵。问得几何？答曰：为糵七斗。
术曰：以粟求糵，七之，二而一。
〔淳风等按：糵率一百七十有五，合以此数乘其本粟。术欲从省，先以等数
二十五约之，所求之率得七，所有之率得二，故七乘二除。〕
今有粝米十五斗五升五分升之二，欲为粟。问得几何？答曰：为粟二十五斗
九升。
术曰：以粝米求粟，五之，三而一。
〔淳风等按：上术以粟求米，故粟为所有数，三为所求率，五为所有率。今
此以米求粟，故米为所有数，五为所求率，三为所有率。准都术求之，各合其数。
以下所有反求多同，皆准此。〕
今有粺米二斗，欲为粟。问得几何？答曰：为粟三斗七升二十七分升之一。
术曰：以粺米求粟，五十之，二十七而一。
今有米三斗少半升，欲为粟。问得几何？答曰：为粟六斗三升三十六
分升之七。
术曰：以米求粟，二十五之，十二而一。
今有御米十四斗，欲为粟。问得几何？答曰：为粟三十三斗三升少半升。
术曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。
今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四，欲为粟。问得几何？答曰：为粟
一十斗五升九分升之七。
术曰：以稻求粟，五之，六而一。
今有粝米一十九斗二升七分升之一，欲为粺米。问得几何？答曰：为粺
米一十七斗二升一十四分升之一十三。
术曰：以粝米求粺米，九之，十而一。
〔淳风等按：粺米率二十七，合以此数乘粝米。术欲从省，先以等数三约
之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘而十除。〕
今有粝米六斗四升五分升之三，欲为粝饭。问得几何？答曰：为粝饭一十六
斗一升半。
术曰：以粝米求粝饭，五之，二而一。
〔淳风等按：粝饭之率七十有五，宜以本粝米乘此率数。术欲从省，先以等
数十五约之，所求之率得五，所有之率得二，故五乘二除，义由于此。〕
今有粝饭七斗六升七分升之四，欲为飧。问得几何？答曰：为飧九斗一升三
十五分升之三十一。
术曰：以粝饭求飧，六之，五而一。
〔淳风等按：飧率九十，为粝饭所求，宜以粝饭乘此率。术欲从省，先以等
数十五约之，所求之率得六，所有之率得五。以此，故六乘五除也。〕
今有菽一斗，欲为熟菽。问得几何？答曰：为熟菽二斗三升。
术曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一。
〔淳风等按：熟菽之率一百三半。因其有半，各以母二通之，宜以菽数乘此
率。术欲从省，先以等数九约之，所求之率得一十一半，所有之率得五也。〕
今有菽二斗，欲为豉。问得几何？答曰：为豉二斗八升。
术曰：以菽求豉，七之，五而一。
〔淳风等按：豉率六十三，为菽所求，宜以菽乘此率。术欲从省，先以等数
九约之，所求之率得七，而所有之率得五也。〕
今有麦八斗六升七分升之三，欲为小。问得几何？答曰：为小
二斗五升一十四分升之一十三。
术曰：以麦求小，三之，十而一。
〔淳风等按：小之率十三半，宜以母二通之，以乘本麦之数。术欲从
省，先以等数九约之，所求之率得三，所有之率得十也。〕
今有麦一斗，欲为大。问得几何？答曰：为大捯欢范�
术曰：以麦求大，六之，五而一。
〔淳风等按：大之率五十有四，合以麦数乘此率。术欲从省，先以等
数九约之，所求之率得六，所有之率得五也。〕
今有出钱一百六十，买瓴甓十八枚。
〔瓴甓，砖也。〕
问枚几何？答曰：一枚八钱九分钱之八。
今有出钱一万三千五百，买竹二千三百五十个。问个几何？答曰：一个，五
钱四十七分钱之三十五。
经率术曰：以所买率为法，所出钱数为实，实如法得一。
〔此术犹经分。
淳风等按：今有之义，以所求率乘所有数，合以瓴甓一枚乘钱一百六十为实。
但以一乘不长，故不复乘，是以径将所买之率与所出之钱为法、实也。又按：此
今有之义。出钱为所有数，一枚为所求率，所买为所有率，而今有之，即得所求
数。一乘不长，故不复乘，是以径将所买之率为法，以所出之钱为实，实如法得
一枚钱。不尽者，等数而命分。〕
今有出钱五千七百八十五，买漆一斛六斗七升太半升。欲斗率之，问斗几何？
答曰：一斗，三百四十五钱五百三分钱之一十五。
今有出钱七百二十，买缣一匹二丈一尺。欲丈率之，问丈几何？答曰：一丈，
一百一十八钱六十一分钱之二。
今有出钱二千三百七十，买布九匹二丈七尺。欲匹率之，问匹几何？答曰：
一匹，二百四十四钱一百二十九分钱之一百二十四。
今有出钱一万三千六百七十，买丝一石二钧一十七斤。欲石率之，问石几何？
答曰：一石，八千三百二十六钱一百九十七分钱之百七十八。
术曰：以求所率乘钱数为实，以所买率为法，实如法得一。
〔淳风等按：今有之义，钱为所求率，物为所有数，故以乘钱，又以分母乘
之为实。实如法而一，有分者通之。所买通分内子为所有率，故以为法。得钱数
不尽而命分者，因法为母，实余为子。实见不满，故以命之。〕
今有出钱五百七十六，买竹七十八个。欲其大小率之，问各几何？答曰：其
四十八个，个七钱；其三十个，个八钱。
今有出钱一千一百二十，买丝一石二钧十八斤。欲其贵贱斤率之，问各几何？
答曰：其二钧八斤，斤五钱；其一石一十斤，斤六钱。
今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱石
率之，问各几何？答曰：其一钧九两一十二铢，石八千五十一钱；其一石一钧二
十七斤九两一十七铢，石八千五十二钱。
今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱钧
率之，问各几何？答曰：其七斤一十两九铢，钧二千一十二钱；其一石二钧二十
斤八两二十铢，钧二千一十三钱。
今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱斤
率之，问各几何？答曰：其一石二钧七斤十两四铢，斤六十七钱；其二十斤九两
一铢，斤六十八钱。
今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱两
率之，问各几何？答曰：其一石一钧一十七斤一十四两一铢，两四钱；其一钧一
十斤五两四铢，两五钱。
其率术曰：各置所买石、钧、斤、两以为法，以所率乘钱数为实，实如法
而一。不满法者，反以实减法。法贱实贵。其求石、钧、斤、两，以积铢各除法、
实，各得其积数，余各为铢。
〔其率知，欲令无分。按：出钱五百七十六，买竹七十八个，以除钱，得七，
实余三十，是为三十个复可增一钱。然则实余之数即是贵者之数，故曰实贵也。
本以七十八个为法，今以贵者减之，则其余悉是贱者之数。故曰法贱也。其求石、
钧、斤、两，以积铢各除法、实，各得其积数，余各为铢者，谓石、钧、斤、两
积铢除实，又以石、钧、斤、两积铢除法，余各为铢，即合所问。〕
今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱铢
率之，问各几何？答曰：其一钧二十斤六两十一铢，五铢一钱；其一石一钧七斤
一十二两一十八铢，六铢一钱。
今有出钱六百二十，买羽二千一百翭。
〔翭，羽本也。数羽称其本，犹数草木称其根株。〕
欲其贵贱率之，问各几何？答曰：其一千一百四十翭，三翭一钱；
其九百六十翭，四翭钱。
今有出钱九百八十，买矢榦五千八百二十枚。欲其贵贱率之，问各几何？答
曰：其三百枚，五枚一钱；其五千五百二十枚，六枚一钱。
反其率术曰：以钱数为法，所率为实，实如法而一。不满法者，反以实减
法。法少实多。二物各以所得多少之数乘法、实，即物数。
〔按：其率：出钱六百二十，买羽二千一百翭。反之，当二百四十钱，
一钱翭；其三百八十钱，一钱三翭。是钱有二价，物有贵贱。故以羽乘
钱，反其率也。
淳风等按：其率者，钱多物少；反其率知，钱少物多；多少相反，故曰反其
率也。其率者，以物数为法，钱数为实。反之知，以钱数为法，物数为实。不满
法知，实余也。当以余物化为钱矣。法为凡钱，而今以化钱减之，故以实减法。
法少知，经分之所得，故曰法少；实多者，余分之所益，故曰实多。乘实宜以多，
乘法宜以少，故曰各以其所得多少之数乘法、实，即物数。〕
卷三
○衰分（以御贵贱禀税）
衰分
〔衰分，差也。〕
术曰：各置列衰；
〔列衰，相与率也。重叠，则可约。〕
副并为法，以所分乘未并者，各自为实。实如法而一。
〔法集而衰别。数，本一也。今以所分乘上别，以下集除之，一乘一除，适
足相消，故所分犹存，且各应率而别也。于今有术，列衰各为所求率，副并为所
有率，所分为所有数。又以经分言之，假令甲家三人，乙家二人，丙家一人，并
六人，共分十二，为人得二也。欲复作逐家者，则当列置人数，以一人所得乘之。
今此术先乘而后除也。〕
不满法者，以法命之。
今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，
问各得几何？答曰：大夫得一鹿三分鹿之二；不更得一鹿三分鹿之一；簪袅得一
鹿；上造得三分鹿之二；公士得三分鹿之一。
术曰：列置爵数，各自为衰。
〔爵数者，谓大夫五，不更四，簪袅三，上造二，公士一也。《墨子·号令
篇》以爵级为赐，然则战国之初有此名也。〕
副并为法。以五鹿乘未并者各自为实。实如法得一鹿。
〔今有术，列衰各为所求率，副并为所有率，今有鹿数为所有数，而今有之，
即得。〕
今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主
曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之，问各出几何？答曰：牛主出二斗八升七分升
之四；马主出一斗四升七分升之二；羊主出七升七分升之一。
术曰：置牛四、马二、羊一，各自为列衰，副并为法。以五斗乘未并者各自
为实。实如法得一斗。
〔淳风等按：此术问意，羊食半马，马食半牛，是谓四羊当一牛，二羊当一
马。今术置羊一、马二、牛四者，通其率以为列衰。〕
今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，
关税百钱。欲以钱数多少衰出之，问各几何？答曰：甲出五十一钱一百九分钱之
四十一；乙出三十二钱一百九分钱之一十二；丙出一十六钱一百九分钱之五十六。
术曰：各置钱数为列衰，副并为法。以百钱乘未并者，各自为实。实如法得
一钱。
〔淳风等按：此术甲、乙、丙持钱数以为列衰，副并为所有率，未并者各为
所求率，百钱为所有数，而今有之，即得。〕
今有女子善织，日自倍，五日织五尺。问日织几何？答曰：初日织一寸三十
一分寸之十九；次日织三寸三十一分寸之七；次日织六寸三十一分寸之十四；次
日织一尺二寸三十一分寸之二十八；次日织二尺五寸三十一分寸之二十五。
术曰：置一、二、四、八、十六为列衰，副并为法。以五尺乘未并者，各自
为实。实如法得一尺。
今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十
六。凡三乡发徭三百七十八人。欲以算数多少衰出之，问各几何？答曰：北乡遣
一百三十五人一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七；西乡遣一百一十
二人一万二千一百七十五分人之四千四；南乡遣一百二十九人一万二千一百七十
五分人之八千七百九。
术曰：
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