九章算术-第6部分

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故曰丸居立方二分之一也。”等数既密，心亦昭晢。张衡放旧，贻哂于后，刘徽

循故，未暇校新。夫岂难哉，抑未之思也。依密率，此立圆积，本以圆径再自乘，

十一乘之，二十一而一，得此积。今欲求其本积，故以二十一乘之，十一而一。

凡物再自乘，开立方除之，复其本数。故立方除之，即丸径也。〕

卷五

○商功（以御功程积实）

今有穿地，积一万尺。问为坚、壤各几何？答曰：为坚七千五百尺；为壤一

万二千五百尺。

术曰：穿地四为壤五，

〔壤谓息土。〕

为坚三，

〔坚谓筑土。〕

为墟四。

〔墟谓穿坑。此皆其常率。〕

以穿地求壤，五之；求坚，三之；皆四而一。

〔今有术也。〕

以壤求穿，四之；求坚，三之；皆五而一。以坚求穿，四之；求壤，五之；

皆三而一。

〔淳风等按：此术并今有之义也。重张穿地积一万尺，为所有数，坚率三、

壤率五各为所求率，穿率四为所有率，而今有之，即得。〕

城、垣、堤、沟、堑、渠皆同术。

术曰：并上下广而半之，

〔损广补狭。〕

以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。

〔按：此术“并上下广而半之”者，以盈补虚，得中平之广。“以高若深乘

之”，得一头之立幂。“又以袤乘之”者，得立实之积，故为积尺。〕

今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺。问穿地

下广几何？答曰：三尺五分尺之三。

术曰：置垣积尺，四之为实。

〔穿地四，为坚三。垣，坚也。以坚求穿地，当四之，三而一也。〕

以深、袤相乘，

〔为深、袤之立实也。〕

又三之，为法。

〔以深、袤乘之立实除垣积，即坑广。又三之者，与坚率并除之。〕

所得，倍之。

〔为坑有两广，先并而半之，即为广狭之中平。今先得其中平，故又倍之知，

两广全也。〕

减上广，余即下广。

〔按：此术穿地四，为坚三。垣即坚也。今以坚求穿地，当四乘之，三而一。

深、袤相乘者，为深袤立幂。以深袤立幂除积，即坑广。又三之，为法，与坚率

并除。所得，倍之者，为坑有两广，先并而半之，为中平之广。今此得中平之广，

故倍之还为两广并。故减上广，余即下广也。〕

今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？答

曰：一百八十九万七千五百尺：

今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问积几何？

答曰：六千七百七十四尺。

今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问积几何？答曰：

七千一百一十二尺。

冬程人功四百四十四尺，问用徒几何？答曰：一十六人二百一十一分人之二。

术曰：以积尺为实，程功尺数为法，实如法而一，即用徒人数。

今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问积几何？答曰：四

千三百七十五尺。

春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺五分尺之四。

问用徒几何？答曰：七人三千六十四分人之四百二十七。

术曰：置本人功，去其五分之一，余为法。

〔“去其五分之一”者，谓以四乘，五除也。〕

以沟积尺为实，实如法而一，得用徒人数。

〔按：此术“置本人功，去其五分之一”者，谓以四乘之，五而一，除去出

土之功，取其定功。乃通分内子以为法。以分母乘沟积尺为实者，法里有分，实

里通之，故实如法而一，即用徒人数。此以一人之积尺除其众尺，故用徒人数。

不尽者，等数约之而命分也。〕

今有堑，上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。

问积几何？答曰：一万九百四十三尺八寸。

〔八寸者，谓穿地方尺，深八寸。此积余有方尺中二分四厘五毫，弃之。文

欲从易，非其常定也。〕

夏程人功八百七十一尺，并出土功五分之一，沙砾水石之功作太半，定功二

百三十二尺一十五分尺之四。问用徒几何？答曰：四十七人三千四百八十四分人

之四百九。

术曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙砾水石之功太半，余为法。

以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数。

〔按：此术“置本人功，去其出土功五分之一”者，谓以四乘，五除。“又

去沙砾水石作太半”者，一乘，三除，存其少半，取其定功。乃通分内子以为法。

以分母乘堑积尺为实者，为法里有分，实里通之，故实如法而一，即用徒人数。

不尽者，等数约之而命分也。〕

今有穿渠，上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二

十四尺。问积几何？答曰：一千七万四千五百八十五尺六寸。

秋程人功三百尺，问用徒几何？答曰：三万三千五百八十二人，功内少一十

四尺四寸。

一千人先到，问当受袤几何？答曰：一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。

术曰：以一人功尺数乘先到人数为实。

〔以一千人一日功为实。立实为功。〕

并渠上下广而半之，以深乘之，为法。

〔以渠广深之立实为法。〕

实如法得袤尺。

今有方堡壔，

〔堡者，堡城也；壔，音丁老反，又音纛，谓以土拥木也。〕

方一丈六尺，高一丈五尺。问积几何？答曰：三千八百四十尺。

术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。

今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺。问积几何？答曰：二千一百一十二

尺。

〔于徽术，当积二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一。

淳风等按：依密率，积二千一十六尺。〕

术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。

〔此章诸术亦以周三径一为率，皆非也。于徽术当以周自乘，以高乘之，又

以二十五乘之，三百一十四而一。此之圆幂亦如圆田之幂也。求幂亦如圆田，而

以高乘幂也。

淳风等按：依密率，以七乘之，八十八而一。〕

今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。问积几何？答曰：一十万一千六

百六十六尺太半尺。

术曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。

〔此章有堑堵、阳马，皆合而成立方。盖说算者乃立棋三品，以效高深之积。

假令方亭，上方一尺，下方三尺，高一尺。其用棋也，中央立方一，四面堑堵四，

四角阳马四。上下方相乘为三尺，以高乘之，得积三尺，是为得中央立方一，四

面堑堵各一。下方自乘为九，以高乘之，得积九尺。是为中央立方一、四面堑堵

各二、四角阳马各三也。上方自乘，以高乘之，得积一尺，又为中央立方一。凡

三品棋皆一而为三，故三而一，得积尺。用棋之数：立方三、堑堵阳马各十二，

凡二十七，棋十三。更差次之，而成方亭者三，验矣。为术又可令方差自乘，以

高乘之，三而一，即四阳马也；上下方相乘，以高乘之，即中央立方及四面堑堵

也。并之，以为方亭积数也。〕

今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。问积几何？答曰：五百二十七尺

九分尺之七。

〔于徽术，当积五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也。

淳风等按：依密率，为积五百三尺三十三分尺之二十六。〕

术曰：上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。

〔此术周三径一之义。合以三除上下周，各为上下径。以相乘，又各自乘，

并，以高乘之，三而一，为方亭之积。假令三约上下周俱不尽，还通之，即各为

上下径。令上下径相乘，又各自乘，并，以高乘之，为三方亭之积分。此合分母

三相乘得九，为法，除之。又三而一，得方亭之积。从方亭求圆亭之积，亦犹方

幂中求圆幂。乃令圆率三乘之，方率四而一，得圆亭之积。前求方亭之积，乃以

三而一；今求圆亭之积，亦合三乘之。二母既同，故相准折，惟以方幂四乘分母

九，得三十六，而连除之。于徽术，当上下周相乘，又各自乘，并，以高乘之，

又二十五乘之，九百四十二而一。此方亭四角圆杀，比于方亭，二百分之一百五

十七。为术之意，先作方亭，三而一。则此据上下径为之者，当又以一百五十七

乘之，六百而一也。今据周为之，若于圆堡昪，又以二十五乘之，三百一十四而

一，则先得三圆亭矣。故以三百一十四为九百四十二而一，并除之。

淳风等按：依密率，以七乘之，二百六十四而一。〕

今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺。问积几何？答曰：七千四十七尺。

术曰：下方自乘，以高乘之，三而一。

〔按：此术假令方锥下方二尺，高一尺，即四阳马。如术为之，用十二阳马

成三方锥。故三而一，得方锥也。〕

今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺。问积几何？答曰：一千七百三十五

尺一十二分尺之五。

〔于徽术，当积一千六百五十八尺三百一十四分尺之十三。

淳风等按：依密率，为积一千六百五十六尺八十八分尺之四十七。〕

术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。

〔按：此术圆锥下周以为方锥下方。方锥下方令自乘，以高乘之，令三而一，

得大方锥之积。大锥方之积合十二圆矣。今求一圆，复合十二除之，故令三乘十

二，得三十六，而连除。于徽术，当下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九

百四十二而一。圆锥比于方锥亦二百分之一百五十七。令径自乘者，亦当以一百

五十七乘之，六百而一。其说如圆亭也。

淳风等按：依密率，以七乘之，二百六十四而一。〕

今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。问积几何？答曰：四

万六千五百尺。

术曰：广袤相乘，以高乘之，二而一。

〔邪解立方，得两堑堵。虽复橢方，亦为堑堵。故二而一。此则合所规棋。

推其物体，盖为堑上叠也。其形如城，而无上广，与所规棋形异而同实。未闻所

以名之为堑堵之说也。〕

今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何？答曰：九十三尺少半尺。

术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。

〔按：此术阳马之形，方锥一隅也。今谓四柱屋隅为阳马。假令广袤各一尺，

高一尺，相乘，得立方积一尺。邪解立方，得两堑堵；邪解堑堵，其一为阳马，

一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑成一阳马，合三阳马而

成一立方，故三而一。验之以棋，其形露矣。悉割阳马，凡为六鳖臑。观其割分，

则体势互通，盖易了也。其棋或修短、或广狭、立方不等者，亦割分以为六鳖臑。

其形不悉相似。然见数同，积实均也。鳖臑殊形，阳马异体。然阳马异体，则不

纯合。不纯合，则难为之矣。何则？按：邪解方棋以为堑堵者，必当以半为分；

邪解堑堵以为阳马者，亦必当以半为分，一从一横耳。设以阳马为分内，鳖臑为

分外。棋虽或随修短广狭，犹有此分常率知，殊形异体，亦同也者，以此而已。

其使鳖臑广、袤、高各二尺，用堑堵、鳖臑之棋各二，皆用赤棋。又使阳马之广、

袤、高各二尺，用立方之棋一，堑堵、阳马之棋各二，皆用黑棋。棋之赤、黑，

接为堑堵，广、袤、高各二尺。于是中攽其广、袤，又中分其高。令赤、黑堑堵

各自适当一方，高一尺，方一尺，每二分鳖臑，则一阳马也。其余两端各积本体，

合成一方焉。是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一。虽方随棋改，而固

有常然之势也。按：余数具而可知者有一、二分之别，则一、二之为率定矣。其

于理也岂虚矣。若为数而穷之，置余广、袤、高之数，各半之，则四分之三又可

知也。半之弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉？数而

求穷之者，谓以情推，不用筹算。鳖臑之物，不同器用；阳马之形，或随修短广

狭。然不有鳖臑，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之数，功实之主也。〕

今有鳖臑，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺。问积几何？答曰：

二十三尺少半尺。

术曰：广袤相乘，以高乘之，六而一。

〔按：此术臑者，臂节也。或曰：半阳马，其形有似鳖肘，故以名云。中破

阳马，得两鳖臑。鳖臑之见数即阳马之半数。数同而实据半，故云六而一，即得。〕

今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺；末广八尺，无深；袤七尺。问积

几何？答曰：八十四尺。

术曰：并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一。

〔按：此术羡除，实隧道也。其所穿地，上平下邪，似两鳖臑夹一堑堵，即

羡除之形。假令用此棋：上广三尺，深一尺，下广一尺；末广一尺，无深；袤一

尺。下广、末广皆堑堵之广。上广者，两鳖臑与一堑堵相连之广也。以深、袤乘，

得积五尺。鳖臑居二，堑堵居三，其于本棋皆一为六，故六而一。合四阳马以为

方锥。邪画方锥之底，亦令为中方。就中方削而上合，全为中方锥之半。于是阳

马之棋悉中解矣。中锥离而为四鳖臑焉。故外锥之半亦为四鳖臑。虽背正异形，

与常所谓鳖臑参不相似，实则同也。所云夹堑堵者，中锥之鳖臑也。凡堑堵上袤

短者，连阳马也。下袤短者，与鳖臑连也。上、下两袤相等知，亦与鳖臑连也。

并三广，以高、袤乘，六而一，皆其积也。今此羡除之广即堑堵之袤也。按：

此本是三广不等，即与鳖臑连者。别而言之：中央堑堵广六尺，高三尺，袤七尺。

末广之两旁，各一小鳖臑，皆与堑堵等。令小鳖臑居里，大鳖臑居表，则大鳖臑

皆出橢方锥：下广二尺，袤六尺，高七尺。分取其半，则为袤三尺。以高、广乘

之，三而一，即半锥之积也。邪解半锥得此两大鳖臑。求其积，亦当六而一，合

于常率矣。按：阳马之棋两邪，棋底方。当其方也，不问旁角而割之，相半可知

也。推此上连无成不方，故方锥与阳马同实。角而割之者，相半之势。此大小鳖

臑可知更相表里，但体有背正也。〕

今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈。问积几何？答曰：

五千尺。

术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一。

〔推明义理者：旧说云：“凡积刍有上下广曰童，甍，谓其屋盖之苫也。”

是故甍之下广、袤与童之上广、袤等。正解方亭两边，合之即刍甍之形也。假令

下广二尺，袤三尺；上袤一尺，无广；高一尺。其用棋也，中央堑堵二，两端阳

马各二。倍下袤，上袤从之，为七尺。以下广乘之，得幂十四尺。阳马之幂各居

二，堑堵之幂各居三。以高乘之，得积十四尺。其于本棋也，皆一而为六。故六

而一，即得。亦可令上下袤差乘广，以高乘之，三而一，即四阳马也；下广乘上

袤而半之，高乘之，即二堑堵；并之，以为甍积也。〕

刍童、曲池、盘池、冥谷皆同术。

术曰：倍上袤，下袤从之；